冰天博客

闲论Atiyah-Singer指标定理

// 九月 2nd, 2009 // No Comments » // 数学妙趣

余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。

关于数理逻辑教科书的写法

// 九月 2nd, 2009 // No Comments » // 数学妙趣

目前，大部分的数理逻辑教材，似乎遵循这样的路线，先语法，后语义，这种讲述方法其实暗含了一个问题。就是在语义解释的讲解时候必须依赖于集合论（有些教材说，这是元语言中的朴素集合论，这样的说法无非是自欺欺人）。因为逻辑是数学的基础，是一切之先，所以在讲解语义的时候引用集合论是不恰当的，会有逻辑混乱之嫌。特别是现在很多逻辑书籍，连语形语法都没讲，开篇就讲解语义，而在行文到一半，又说：逻辑给数学提供了基础和语言。这样的处理就更不恰当了。

似乎，正确的做法应该是这样，先讲述逻辑的语构部分，尽量使用系统内的形式定理推导，然后讲述公理集合论的语构部分。然后，到此宣称，我们以后的数学其他部分将在“逻辑和集合论的形式系统”上展开，也就是说，至此，宣称我们的元语言就是“逻辑和集合论的形式系统”，然后在这个元语言的基础上，把谓词逻辑系统看成一个定义了若干关系的集合加以研究，这种研究就是语义研究了，从这里研究得出可靠性定理和完备性定理。

这样的路径似乎比较迂回，但是似乎是获得正确理解的唯一途径。

逻辑中的epsilon运算

// 八月 25th, 2009 // No Comments » // 数学妙趣

昨天看布尔巴基的集论的逻辑部分，基本看完了，但是在如下的等词公理部分卡壳。不是推导的问题，而是语义理解的问题。等词公理的第二条是

经过一些思索和查阅，终于明白这个公理其实暗含了选择公理，也就是说对每个谓词确定了一个元素，该元素属于谓词所确定的集合，一个固定的tau就是一个固定的选择函数，布尔巴基的逻辑事实上包含了选择公理，似乎不应该称为纯逻辑了，另外根据一些资料，其集论也是ZC集论，而不是ZFC。

关于布尔巴基的《集合论》

// 八月 22nd, 2009 // No Comments » // 数学妙趣

本来，从各种渠道得知，布尔巴基学派中的逻辑功底较弱，各位成员也不喜欢逻辑，如果不是薛华荔的要求并亲自缮写了逻辑的第一稿，没准《数学原理》里面将不会有逻辑的位置。

但是，这几天，粗略翻阅了数学原理的《集合论》,感觉还是大受裨益，数理逻辑在布尔巴基中的处理比较另类，在任何其他的数理逻辑书中我都未曾见过，具体来说，就是用希尔伯特选择符号”涛”，来构造了存在量词，再由存在量词构造了全称量词，这种构造方法，在我看来，语义上更朴素和直观，并且整个逻辑体系中只有一条规则“MP”规则，省略了量词推理规则，所需要的只是附加了一条存在量词的公理。

遗憾的是，布尔巴基的数理逻辑似乎仅仅停止于语构理论，未发展语义理论，但是可以从其他书籍弥补。

总的来说，以我现在的观感，布尔巴基的《数理逻辑》很朴素和直观。